Modelado
Contenido
Modelado
Sistemas mecánicos de traslación
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo:
Sistemas mecanicos de rotación
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Sistemas de rotación y traslación
Ejemplo:
Ejemplo:
Modelo en espacio de estados (introducción)
Actividad
Variables analogas
Sistemas eléctricos
Sistemas electromecánicos
Sistemas térmicos
Sistemas mecánicos de traslación
x Desplazamient angular en metros (m)
v Velocidad en metros por segundo (
)
)a Aceleración en metros por segundo al cuadrado (
)
)F Fuerza en newtons (N)
Estas variables están relacionadas por
Por segunda ley de Newton
M es la masa del cuerpo (
)
) Fricción viscosa
B constante de fricción (
)
)Resorte
K constante del resorte (
)
)Ley de D'Alembert
Considera a 
como un fuerza inercial. Esto es el principio físico fundamental de los sistemas de traslación.
como un fuerza inercial. Esto es el principio físico fundamental de los sistemas de traslación. Ejemplo
Escribe la ecuación del modelo entrada-salida para el siguiente sistema. Considera que la salida es la posición de la masa
Solución
Tanto la figura (a) como (d) tienen el mismo modelo. Observamos que de acuerdo al marco de referencia fijo.
Si se sutituyen las relaciones entre las variables de velocidad y posición, tenemos que el modelo es:
Sistema con una entrada y una salida (SISO)
- Continuo en tiempo
- Con memoria
- Causal
- Invariante en tiempo
- Lineal solo si las condiciones iniciales son cero
Resolvemos el sistema no forzado (la entrada del sistema en cero, solo hay movimiento devidas a las condiciones iniciales).
syms M B K x(t) x_0 xp_0
assume(M,'positive')
assume(B,'positive')
assume(K,'positive')
ecudif = M * diff(x,t,2) + B * diff(x,t,1) + K*x == 0
dsolve(ecudif)
Dx = diff(x,t);
con_ini = [x(0)==x_0, Dx(0)==xp_0];
assumeAlso(B^2-4*K*M < 0)
xs(M,B,K,x_0,xp_0,t)=dsolve(ecudif,con_ini)
x_1 = xs(1,1,1,1,1,t)
figure
fplot(x_1,[0,10])
clear assumptions
assume(M,'positive')
assume(B,'positive')
assume(K,'positive')
assumeAlso(B^2-4*K*M > 0)
xs(M,B,K,x_0,xp_0,t) = dsolve(ecudif,con_ini)
x_2 = xs(1,3,1,1,1,t)
figure
fplot(x_2,[0,10])
clear assumptions
assume(M,'positive')
assume(B,'positive')
assume(K,'positive')
assumeAlso(B^2-4*K*M == 0)
xs(M,B,K,x_0,xp_0,t) = dsolve(ecudif,con_ini)
NaN
La herramienta simbolica no es eficiente para esta estura. Resolvemos con tranfomrada de Laplace.
laplace2016aa([K B M],[1],[x_0 xp_0],t*0,10)
syms s
clear assumptions
assume(M,'positive')
assume(B,'positive')
assume(K,'positive')
assumeAlso(B^2-4*K*M == 0)
X(s) = (B*x_0 + M*xp_0 + M * x_0 * s) / (M* s^2 + B* s + K)
ilaplace(X(s))
Nuevamente no es suficiente el simbolico. Invertimos a mano,
utilizamos la formula 13 de la sección de laplace
xs(M,B,K,x_0,xp_0,t) = x_0*exp(-(B/(2*M))*t)*heaviside(t)+ ...
((B*x_0 + 2* M *xp_0) / (2*M))*t*exp(-(B/(2*M))*t)*heaviside(t)
x_3 = xs(1,1,0.25,1,1,t)
figure
fplot(x_3,[0,10])
Se puede revisar el siguiente documento de MATLAB para la implementación
Ejemplo
Escribe las dos ecuaciones para el sustemas de dos masas que se muestra en la siguiente figura. Considera las variables que se definen
Solución:
Se puede pensar en los diagramas de cuerpo libre y analizar elemento por elemento, pero llega un momento es que este analisisi se vuelve complicado. Existen una sere de artificios para crear estos modelos de forma más sencilla. Para que este artificio funcione es necesario:
- Establecer un marco de referencia fijo para cada masa,
- La salida del sistema será la posición de cada masa respescto a su marco
- Todos las posiciones se consideran positivas en la misma dirección.
Con esto en mente, el artificio es el siguiente
Para cada masa:
- De un lado de la ecuación se escriben las fuerzas esternas al sistema (signo positivo si estan en la dirección positiva y negativo en caso contrario)
- Del otro lado de la ecuación se escribe la expresión de fuerza para cada elemento ligado a la masa, se considera que la dependencia es una resta de la variable de posición de la masa menos la variable de posición del extremo opuesto del elemento.
Para la masa 
Para la masa 
Así se tiene que:
Sistema con dos salidas y una entrada (SIMO)
- Continuo en tiempo
- Con memoria
- Causal
- Invariante en tiempo
- Lineal solo si las condiciones iniciales son cero
Ejemplo
Considera el sigueinte sistema. Este sistema es parecido al ejmplo anterior, pero ahora en lugar de fuerza uan fuerza aplicada se considera que la entrada es es la posición 
. Escribe las ecuaciones que gobiernan el movimiento
. Escribe las ecuaciones que gobiernan el movimiento
Solución:
Como esta dada, solo necesitamos una ecuación de movimiento, Asi
esta dada, solo necesitamos una ecuación de movimiento, AsiPara la masa
La ecuación de movimiento es
De forma intensional dejamos del lado derecho a la variable conocida que este caso es la entrada. La única incognita es la salida 
que este caso es la entrada. La única incognita es la salida Sistema de una salida y una entrada (SISO)
- Continuo en tiempo
- Con memoria
- Causal
- Invariante en tiempo
- Lineal solo si las condiciones iniciales son cero
Ejemplo
Para la sigueinte sistema, x denota la posición de la masa con respecto a una marco de referencia fijo, y z denota el desplazamiento relativo de la masa con respecto a la masa . La dorección positiva de ambos desplazamientos es a la derecha. Encuentra las ecuaciones qeu describen al sistema.
con respecto a una marco de referencia fijo, y z denota el desplazamiento relativo de la masa con respecto a la masa . La dorección positiva de ambos desplazamientos es a la derecha. Encuentra las ecuaciones qeu describen al sistema.
Solución:
Si el desplazamiento de cada masa se expresa con respecto a su propio sistema fijo de referencia (positivo a la derecha)
Para la masa
Para la masa
Así el modelo que se obtiene es:
Al sustituir en las ecuaciones anteriores el cambio de variables 
y 
. Se obtiene el modelo con las varibales que se muestran en el diagrama (es decir z es el movimiento relativo de la masa dos respecto a la masa uno)
y . Se obtiene el modelo con las varibales que se muestran en el diagrama (es decir z es el movimiento relativo de la masa dos respecto a la masa uno)Opcional: Obten las ecuaciacones de moviento relativo con el cambio de variable indcado anteriormente.
Sistema con don salidas y una entrada (SIMO)
- Continuo en tiempo
- Con memoria
- Causal
- Invariante en tiempo
- Lineal solo si las condiciones iniciales son cero
Ejemplo:
Encuentra las ecuaciones diferenciales qeu describen el movimiento del siguente sistema
Solución:
La obtención del modelo es directo
Como esta ecuación modela el movimiento, despues de que pase mucho tiempo, el cuerpo dejará de moverse (la enegía se disipa en el amortiguador) 
, en ausencia de fuerzas externas se tendrá qiue la posición de equilibrio es:
, en ausencia de fuerzas externas se tendrá qiue la posición de equilibrio es: 
Si el desplazamiento es definido desde la posición de equilibrio respecto a la ausencia de fuerzas salvo la gravitacional, se tiene
donde 
, y 
es la posición de equilibrio. Normalemte esta es la consideración que se realiza.
, y es la posición de equilibrio. Normalemte esta es la consideración que se realiza.Sistema con una entrada y una salida (SISO)
- Continuo en tiempo
- Con memoria
- Causal
- Invariante en tiempo
- Lineal solo si las condiciones iniciales son cero
Sistemas mecanicos de rotación
θ Desplazamient angular en radianes (
)
)ω Velocidad angular en racianes por segundo (
)
)α Aceleración angular en radinaes por segundo al cuadrado (
)
)τ Momento (torque) en newton-metro (
)
)Estas variables están relacionadas por
Por segunda ley de Newton
J es el momento de inercia (
) , juega "el papel de la masa" para un cuerpo en rotación
) , juega "el papel de la masa" para un cuerpo en rotación
Si es necesario se tendrá que investigar sobre el momento de inercia de un cuerpo.
Fricción viscosa (momento)
B constante de fricción (
)
)Resorte rotacional (momento)
K constante del resorte ()
)Ley de D'Alembert
Considera a 
como un momento inercial. Esto es el principio físico fundamental de los sistemas de rotación.
como un momento inercial. Esto es el principio físico fundamental de los sistemas de rotación. Ejemplo
Encuentra el modelo entrada-salida para el sistema rotacional de la siguiente figura. Donde θ es la salida y 
es la entrada.
es la entrada. 
Solución
De acuerdo al principio de D'Alemberg
De igual forma los artificios que se utilizarón en los sistemas de traslación sigue siendo válidos, en ambos casos el modelado es:
Sistema con una entrada y una salida (SISO)
- Continuo en tiempo
- Con memoria
- Causal
- Invariante en tiempo
- Lineal solo si las condiciones iniciales son cero
Observemos que matematicamente (sin interpretación física) el modelo que se ha obtenido es equivalente a un masa-resorte-amortiguador ¿Por qué?
Ejemplo
En el sistema mostrado en la siguiente figura se asumen dos ejes flexibles, con constates de rigidez 
y 
. Los dos discos con momentos de inercia 
y 
son soportados con rodamientos cuya fricción es despreciable en comparación con la fracción viscoza de los elementos denotados con 
y 
. Las posiciones de referencia son 
y 
. Escribe el modelo entrada salida para este sistema.
y . Los dos discos con momentos de inercia y son soportados con rodamientos cuya fricción es despreciable en comparación con la fracción viscoza de los elementos denotados con y . Las posiciones de referencia son y . Escribe el modelo entrada salida para este sistema.
Solución
Se puede pensar en los diagramas de cuerpo libre y analizar elemento por elemento, pero llega un momento es que este análisis se vuelve complicado. Existen una serie de artificios para crear estos modelos de forma más sencilla. Para que este artificio funcione es necesario:
- Establecer un marco de referencia fijo para cada inercia,
- La salida del sistema será la posición angular de cada inercia respescto a su marco
- Todos las posiciones se consideran positivas en la misma dirección.
Con esto en mente, el artificio es el siguiente
Para cada inercia:
- De un lado de la ecuación se escriben las fuerzas esternas al sistema (signo positivo si estan en la dirección positiva y negativo en caso contrario)
- Del otro lado de la ecuación se escribe la expresión de fuerza para cada elemento ligado a la inercia, se considera que la dependencia es una resta de la variable de posición angular de la inercia menos la variable de posición angular del extremo opuesto del elemento.
Entonces para este ejemplo tenemos
Que se puede escribir como
Observemos que de la ecuación de inercia dos podemos despejar
Sustituyendo en la ecuación de la inercia uno
Así podemos resolver este sistema de orden cuatro para y depsues sustituir esta solución en (1) para encontrar
y depsues sustituir esta solución en (1) para encontrar Sistema con una entrada y dos salidas (SIMO)
- Continuo en tiempo
- Con memoria
- Causal
- Invariante en tiempo
- Lineal solo si las condiciones iniciales son cero
Ejemplo
El sistema que se muestra en la figura consisye e un momento de inercia 
correspondiente al rotor de un motor o una turbina, que esta acoplado al momento de inercia (puede ser una hélice a on propulsor). La potencia es transmitida a travez de un fluido de acoplamiento con cieficiente de frección vizcosa B y constante de rigidez K. Un par de 
se ejerce sobre y un par de carda se ejerce sobre Si la salida es la velocidad angular 
, encuentra el modelo entrada salida.
correspondiente al rotor de un motor o una turbina, que esta acoplado al momento de inercia (puede ser una hélice a on propulsor). La potencia es transmitida a travez de un fluido de acoplamiento con cieficiente de frección vizcosa B y constante de rigidez K. Un par de se ejerce sobre y un par de carda se ejerce sobre Si la salida es la velocidad angular , encuentra el modelo entrada salida.
Solución
Para la inercia , el acoplamiento (sin inercia) y la inercia
, el acoplamiento (sin inercia) y la inercia 
Como la salida es necesitamos tener solo una ecuación en terminos de esta variable. Derivamos las dos últimas ecuaciones respecto al tiempo
necesitamos tener solo una ecuación en terminos de esta variable. Derivamos las dos últimas ecuaciones respecto al tiempo
Realizamos el siguiente artificio: aplicamos transformada de laplace con condiciones iniclaes cero.
Despejamos 
de (1)
de (1)
Sustituimos esta expresión en (2) para despejar 
sustiutimos está ecuación en (3)
Entonces si aplicamos transformada inversa tenemos que
Al final de la sustitución es un sistema con una entrada y una salida (SISO)
- Continuo en tiempo
- Con memoria
- Causal
- Invariante en tiempo
- Lineal solo si las condiciones iniciales son cero
Este modelo es para ilustrar el concepto entrada -salida, en realidad se prefieren los modelos de primer orden simultaneos (las codiciones iniciales son interpretaciones físicas sencillas) vs este sistema de tercer orden.
Ejemplo
El péndulo esbozado en la siguiente figura puede considerarse una masa puntual M unida a una barra rígida sin masa de longitud L, que gira alrededor de un pivote en el otro extremo. Un par de torsión externo se aplica a la barra mediante un mecanismo que no se muestra. Sea B la fricción viscosa rotacional en el punto de pivote. Derive la ecuación diferencial de entrada-salida que relaciona el desplazamiento angular θ con el par aplicado .
se aplica a la barra mediante un mecanismo que no se muestra. Sea B la fricción viscosa rotacional en el punto de pivote. Derive la ecuación diferencial de entrada-salida que relaciona el desplazamiento angular θ con el par aplicado . 
Solución
Se puede escribir el modelo de forma directa
Sistema con una entrada y una salida (SISO)
- Continuo en tiempo
- Con memoria
- Causal
- Invariante en tiempo
- No-lineal (¿por qué?)
Sistemas de rotación y traslación
Ejemplo:
Solución
Si se sustituye la relación algebraica y se toman como variables los desplazamientos
Ejemplo:
El sistema de este ejemplo consta de un péndulo invertido montado en un carro motorizado. El sistema de péndulo invertido es un ejemplo que se encuentra comúnmente en los libros de texto de sistemas de control y en la literatura de investigación. Su popularidad se debe en parte al hecho de que es inestable sin control, es decir, el péndulo simplemente se caerá si no se mueve el carro para equilibrarlo. Además, la dinámica del sistema es no lineal. El objetivo del sistema de control es equilibrar el péndulo invertido aplicando una fuerza al carro al que está sujeto el péndulo. Un ejemplo del mundo real que se relaciona directamente con este sistema de péndulo invertido es el control de actitud de un cohete propulsor en el despegue.
En este caso, consideraremos un problema bidimensional donde el péndulo está obligado a moverse en el plano vertical que se muestra en la siguiente figura. Para este sistema, la entrada de control es la fuerza F que mueve el carro horizontalmente y las salidas son la posición angular del péndulo θ y la posición horizontal del carro x.
Se muestra el dagrama de cuerpo libre
Sumando las fuerzas sobre el carro en posicióm horizontal
hacemos 
, entonces 
, entonces Par ala posición del centro del pendulo repecto a la horizontal
Suma de fuerzas en la vertical del pendulo, pero 
La suma de momentos en el centro de masa
equivalentemente (tener en cuenta los signos de las funciones trignométricas vs hacia donde se genera el momento)
Sustituyendo (2) en (1) y sustiituyendo (2) y (3) en (4)
Sistema con una entrada y dos salidas (SIMO)
- Continuo en tiempo
- Con memoria
- Causal
- Invariante en tiempo
- No lineal
Si medimos la variación respecto a la vertical 
entonces,y pensamos en que esta desviación es pequña (queremos mantener el pendulo en posición vertical) 
entonces,y pensamos en que esta desviación es pequña (queremos mantener el pendulo en posición vertical) 
Enronces podemos tener un modelo lineal que representa al sistema anterior en la posición vertical (y solo bajo esas condiciones). Hacemos 
(notación estándar de control donde u representa la señal de control, no confundir con un escalón unitario)
(notación estándar de control donde u representa la señal de control, no confundir con un escalón unitario)
Modelo en espacio de estados (introducción)
Actividad
Variables analogas
Los sistemas pueden ser de diferente naturaleza (mecanico, eléctricos, térmicos, etc). En cada uno de estos sistemas existen variables que se preservan a lo largo de un elemento del sistema (variables Through), mientras otras variables no se preservan, es decir cambian dependiendo en que extremo del elemento se midan (variables Across).
_________________________________________________________________________________________________
Sistema VT VT integrada VA VA integrada
_________________________________________________________________________________________________
Mecánicos de traslación Fuerza momento (lineal) Δvelocidad ΔPosición
Mecánicos de rotación Par momento (angular) Δvelocidad angular ΔPosición angular
Eléctricos Corriente carga Δvoltaje Flujo de ligadura
Térmicos Tasa de flujo de calor energía de calor Δtemperatura
Fluidos Tasa de flujo volumetrico volumen Δpresiones presión (momento)
_________________________________________________________________________________________________
Observemos que el modelo que preferimos hasta el momento es cuando la salida es la integral de la variable across (posición de traslación o posición angular).
La siguiente tabla muestra un resumen de las ecuaciones descriptivas para los elementos de los diferentes sistemas (cabe aclarar que estos modelos canónicos, siguen siendo simplificaciones de la realidad)
_____________________________________________________________________
Inductactancia eléctrica 
Resorte traslacional 
Resorte rotacional 
Inercia del fluido 
_______________________________________________________________
Capacitanica electrica 
Masa traslacional 
Masa rotacional 
Capacitancia del fluido 
Capacitancia térmica 
___________________________________________________________________
Resistencia electrica 
Amortiguador traslacional 
Amortiguador rotacional 
Resistencia del fluido 
Resistencia térmica 
___________________________________________________________________
Cuando modelamos utilizamos leyes fundamentales en cada dominio, por ejemplo, para mecánica utilizamos las leyes de Newton, pero para sistemas electricos utilizamos las leyes de Kirchhoff. Si tomamos un sistema mecanico de traslación y uno sistema eléctrico y aplicamos las leyes de correspondientes (más adelante revisaresmos las leyes fundamentales de sistemas eléctricos) tenemos que
En el sistema mecanico tenemos una VA integrada como salida, mientras que en el sistema electrico tenemos una VT como salida. Vamos a sustituir a la VT del circuito por su correspondiente integración, o de forma equivalente 
, con esto el modelado eléctrico queda como
, con esto el modelado eléctrico queda como 
Con esto se observa la equivalencia matematica entre el modelado mécanico y eléctrico.
Así lo que se aprenda para un determinado tipo de sistemas (por ejemplo mecanicos) puede ser extendido a otro tipo de sistemas (electricos, fluidos, termicos). Porque al final estas resolviendo ecuaciones diferenciales con estructuras matemáticamente equivalentes.
Sistemas eléctricos
Sistemas electromecánicos
Sistemas térmicos
Funciones de ayuda
function laplace2016aa(a,b,ciy,xi,t0)
% solo regresa hasta la factorización de la salida
% a coeficientes de las derivadas de la salida menor a mayor [a_0, ..., a_n]
% b coeficientes de las derivadas de la entrada menor a mayor [b_0, ..., b_m]
% ciy condiciones iniciales de la salida de menor a mayor [y(0), y(0)^(n-1)]
% xi función de entrada en terminos de la variable simbolica t previamente
% declarada en el command window
% t0 tiempo final para graficar la solucion, la derivada, y la segunda
% derivada
% ejemplo: resolver y^(3)+y^(2)+2y^(1)+2y=3x^(2)-x^(1)+2x con y^(2)(0)=1 y^(1)=3
% y(0)=2, x(t)=exp(-t)cos(t)u(t), para 10 segundos, se resuleve como
% syms t
% laplace2016a([2 2 1 1],[2 -1 3],[2 3 1],exp(-t)*cos(t)*heaviside(t),10)
close all
tam=size(a);
tami=size(b);
syms y(t) Y(s) x(t) X(s) Yy fp;
syms edd edi
edd=0;
edi=0;
for i=1:tam(2)
edd=edd+a(i)*s^(i-1)*Y(s);
for k=1:i-1
edd=edd-a(i)*(s^(i-1-k)*ciy(k));
end
end
for i=1:tami(2)
edi=edi+b(i)*s^(i-1)*X(s);
%for k=1:i-1
% edi=edi-b(i)*(s^(i-1-k)*cix(k));
%end
end
mensaje('APLICAMOS TRANSFORMADA DE LAPLACE y subtituimos condiciones iniciales')
disp(edd == edi)
mensaje('SUBSTITUIMOS LA TRANSFORMADA DE LA ENTRADA')
edi=subs(edi,X(s), laplace(xi));
disp(edd == edi)
mensaje('DESPEJAMOS Y(s)')
edd=collect(edd,Y(s));
edd=subs(edd,Y(s),Yy);
eq1=edd==edi;
edd=solve(eq1, Yy);
disp(Y(s)==simplify(edd))
end
function mensaje(texto)
disp( ' ')
disp(texto)
disp( ' ')
end